数理ファイナンス入門
第１章　１期間証券市場
１．３　リスク中立確率測度　　　　　　　　　　第１版 2001年5月3日

■まとめ
・リスク中立確率測度とは、すべてのω∈Ωでπ(ω)＞0である線形確率測度πである。
　線形確率測度πでは、すべてのω∈Ωでπ(ω)≧0でしたから、その定義の「≧」が「＞」に変わっています。
 ・裁定機会が存在しないこと　⇔　リスク中立確率測度が存在すること
　(*).裁定機会が存在しないことを、無裁定条件ともいう。
　本文中の証明を補足します。
 　Ｗ≡｛Ｘ∈ＲK:ある取引戦略Ｈに対してＸ＝Ｇ*｝
　　これはＧ*として実現可能なベクトルすべての集合をＷとするといっています。
　　本文中では説明していませんが、取引戦略ＨAと取引戦略ＨBの線形な合成として、
　　λＨA＋(1-λ)ＨBを作れば、これもＷの要素なので、凸集合であることが分かります。
　　また、原点をＷは含むことに注意してください。
 　Ａ≡｛Ｘ∈ＲK:Ｘ≧０，Ｘ≠０｝
　　K次元ユークリッド空間で、すべての成分が０以上の集合です。ただし、０ベクトルは除きますので、原点は含みません。
 　Ａ+≡｛Ｘ∈Ａ：ＥＸ≧1｝
　ＥＸは、Ｘ1＋Ｘ2＋...＋ＸKを示しています。
　ＸA、ＸB∈Ａ+の時、Ｅ（λＸA＋(1-λ)ＸB）＝λＥＸA＋(1-λ)ＥＸB≧λ＋(1-λ)＝1より、
　λＸA＋(1-λ)ＸB∈Ａ+なので、これも凸集合です。
 　分離超平面定理により、ＷとＡ+を分離する平面が存在します。
　この定理自体は平面の存在を示すだけですが、ここではＷと直交する平面がとれてそれをＷ┴ としています。
　本当に直交する平面が存在するかどうかは証明が別途必要だと思います。
 　次にＷは原点をもつので、この原点からＡ+を見ると、この平面がすっぽりＡ+を隠しています。
　次に平面上の点Ｙ（どれでも良い）をとってきます。
　すると、どのＸ∈Ａ+でも、Ｘ・Ｙ＞０となっています。
　　（Ｘは原点から見て平面の向こう側ですから、内積は正になります）
　このＹはどの成分も正なので、成分の合計を１になるように割り算すると、リスク中立確率測度が構成できる訳です。


■Ｑ＆Ａ
1).Hahn-Banachの定理とは数学的にはどういうものですか？
関数解析分野での定理で基本的なものです。
　(*).なお、Hahn-Banachはハーンバナッハと読みます。
定理を以下に示します。
Ｘを実線形空間ＲNとし，Ｘ上の汎関数 p:Ｘ→Ｒ が
　　 p(u＋v)≦p(u)＋p(v)　 (u,v)∈Ｘ
　　 p(αu)＝αp(u) (α＞0，u∈Ｘ)
なる二つの性質をもつとき，
Ｘ上のある部分空間Ｓ上で定義された線形汎関数 f：Ｓ→Ｒ がＳ上で，
　　f(u)≦p(u)　　(u∈Ｓ)
をみたせば，Ｘ上の線形汎関数 F：Ｘ→Ｒ で
　　 F(u)≦p(u)　 u∈Ｘ
　　 F(u)＝f(u)　 u∈Ｓ
を満たすものが存在する。

2).分離超平面定理とは数学的にはどういうものですか？
本文に即して、具体的にいうと、
　Ｎ次元ユークリッド空間で、２つの凸集合が交わらない時には
　２つを分離する平面が存在する。
というものです。超平面といっているのはＮ次元空間での平面なのでこういっています。
我々の住む３次元空間で考えれば、２つの立方体（凸集合ですね）が交わらない時は、
その間に（無限の）平面をとることができる(当たり前！)と言っています。


■問題回答
問１．６
1).Ｗは線形部分空間であることを示す。
　ｗA, ｗB∈Ｗとする。それぞれの対応する取引戦略をＨA, ＨBとすると、
　取引戦略Ｈ＝ａ・ＨA＋ｂ・ＨBで実現するｗは、ｗ＝ａ・ｗA＋ｂ・ｗBでｗ∈Ｗである。
　従って、ｗA, ｗB∈Ｗであれば、ａ・ｗA＋ｂ・ｗB∈Ｗであるので、
　Ｗは線形部分空間である。
2).Ｗ┴ は線形部分空間であることを示す。
　ｗA, ｗB∈Ｗとする。
　任意のＸ∈Ｗに対して、Ｘ・(ａ・ｗA＋ｂ・ｗB)＝ａ・(Ｘ・ｗA)＋ｂ・(Ｘ・ｗB)＝0より
　ａ・ｗA＋ｂ・ｗB∈Ｗ┴ であるので、Ｗ┴ は線形部分空間である。

問１．７
ａ).例１．１
ΔＳ*(ω1) ΔＳ*(ω2)
1 -1
より、取引戦略Ｈ＝(Ｈ0, Ｈ1)として、Ｇ*＝(Ｈ1, −Ｈ1)
Ｗは原点を通るベクトル(1, -1)の直線上、Ｗ┴ は原点を通るベクトル(1, 1)の直線上
これを下図に示す。赤色の丸(1/2,1/2)がリスク中立確率測度である。


ｂ).例１．２
ΔＳ*(ω1) ΔＳ*(ω2) ΔＳ*(ω3)
1 -1 -2
より、取引戦略Ｈ＝(Ｈ0, Ｈ1)として、Ｇ*＝(Ｈ1, −Ｈ1, −2Ｈ1)
Ｗは原点を通るベクトル(1, -1, -2)の直線上、Ｗ┴ はベクトル(1, -1, -2)に原点を通る垂直な平面上
これを下図に示す。赤色の線(1/2, 1/2, 0)〜(2/3, 0, 1/3)がリスク中立確率測度である。
　(*).この線は、本文p.14の(λ, 2-3λ, -1+2λ)、1/2＜λ＜2/3に相当する。


ｃ).例１．４
Ｎ ΔＳ*(ω1) ΔＳ*(ω2) ΔＳ*(ω3)
1 4 2 -1
2 3 1 -3
より、取引戦略Ｈ＝(Ｈ0, Ｈ1, Ｈ2)として、Ｇ*＝(4Ｈ1＋3Ｈ2, 2Ｈ1＋Ｈ2, -Ｈ1＋(-3)Ｈ2)
ベクトル(4, 2, -1)とベクトル(3, 1, -3)の両方に直交するベクトルは、(-5, 9, -2)なので、
Ｗはベクトル(-5, 9, -2)に直交する原点を通る平面上、Ｗ┴ は原点を通るベクトル(-5, 9, -2)の直線上


問１．９
Ｓ1*(ω1)＝u/(1+r)、Ｓ1*(ω2)＝d/(1+r)より
ΔＳ1*(ω1)=(u-1-r)/(1+r)、ΔＳ1*(ω2)=(d-1-r)/(1+r)
リスク中立確率測度は、
　{π(ω1)・(u-1-r)/(1+r)}＋{π(ω2)・(d-1-r)/(1+r)}＝0
　π(ω1)＋π(ω2)＝1
を満たすので、変形して
　π(ω1)＝{u-(1+r)}/(u-d)
　π(ω2)＝{(1+r)-d}/(u-d)
となり、さらにπ(ω1)＞0、π(ω2)＞0より、
　リスク中立確率測度となるには、d＜(1+r)＜uである必要がある。

問１．１０
　取引戦略ＨA、取引戦略ＨB、それぞれの割引利得過程をＧ* A、Ｇ* Bとし、
　確率測度πとする。
　ｘ＝ ┌
│
│
│
│
│
│
│
│
└ 		Ｈ1A
Ｈ1B
　：
ＨNA
ＨNB
π(ω1)
　：
π(ωK)
 ┐
│
│
│
│
│
│
│
│
┘ 		とする。
1).Ａｘ＝ｂ、ｘ≧０が解を持つ時　⇒　裁定機会が存在
Ａｘ＝ｂ、ｘ≧０が解を持つ時
　Ｇ* A−Ｇ* B＝π
　Σi=1,Kπ(ωi)＝1
となる。この時、新しい取引戦略ＨCをＨA−ＨBとすると、
　Ｇ* C＝π≧0
　π≧0で、かつΣi=1,Kπ(ωi)＝1より、少なくともある1≦m≦Kで、π(ωm)＞0なので、
　Ｅ[Ｇ* C]＝Σi=1,KＧ* Cπ(ωi)≧π(ωm)・π(ωm)＞0
よって、ＨCは裁定機会であり、裁定機会が存在することを証明した。

2).裁定機会が存在　⇒　Ａｘ＝ｂ、ｘ≧０が解を持つ時
　裁定機会が存在する時、その１つの取引戦略をＨ、その割引利得過程をＧ*とし、
　定数λ≡1/｛Σi=1,KＧ*(ωi)｝＝1/{Ｅ[Ｇ*]}＞0とする。
　ここで、ＨA＝λＨ、ＨB＝０、π＝λＧ*として、ｘを構成すると
　Ａｘ＝ｂ、ｘ≧0を満たすので、解を持つことが証明できた。

問１．１１
1).リスク中立確率測度が存在する　⇔　ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ
　以下1-a).と1-b).から証明する。

1-a).ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ　⇒　リスク中立確率測度が存在する
　問１．１０の定義にさらに、ｙ＝(λ, π(ω1), ..., π(ωK))とする。
　ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ時は、
　　１列目から、Ｅ[ΔＳ1*]≦0
　　２列目から、Ｅ[−ΔＳ1*]≦0より、Ｅ[ΔＳ1*]≧0
　１列目と２列目から、Ｅ[ΔＳ1*]＝0となる。
　以下奇数列と偶数列から同様になり、すべてのkで、Ｅ[ΔＳk*]＝0 　　(2N+1)列目から、λ−π(ω1)≦0
　　ｙｂ＝λ＞0から、π(ω1)≧λ＞0となる。 　以下最終列まで同様にして、すべてのkで、π(ω1)≧λ＞0となる。
　従って、ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ時は、
　　Ｅ[ΔＳ*]＝0
　　π＞0
　となり、πはリスク中立確率測度となり、リスク中立確率測度の存在が証明できた。

1-b).リスク中立確率測度が存在する　⇒　ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ
　リスク中立確率測度π、λ≡ｍｉｎkπ(ωk)として、
　問１．１０の定義にさらに、ｙ≡(λ, π(ω1), ..., π(ωK))とする。
　ｙＡを計算し、
　　１列目は、Ｅ[ΔＳ1*]＝0で、≦0を満たす
　　２列目は、−Ｅ[ΔＳ1*]＝0で、≦0を満たす
　　以下(2N)列目まで同様。
　　(2N+1)列目は、λ−π(ω1)≦0
　　以下(2N+K)列目まで同様。
　従って、ｙＡ≦０である。
　また、ｙｂ＝λ＞0であるので、ｙはｙＡ≦０, ｙｂ＞0の解であり、解の存在を証明できた。

2).裁定機会が存在しない　⇔　リスク中立確率測度が存在
　問１．１０より、裁定機会が存在する　⇔　Ａｘ＝ｂ、ｘ≧０が解を持つ
　従って、裁定機会が存在しない　⇔　Ａｘ＝ｂ、ｘ≧０が解を持たない
　Ａｘ＝ｂ、ｘ≧０が解を持たない　⇔　ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ
　上述1).より、ｙＡ≦０, ｙｂ＞0が解を持つ　⇔　リスク中立確率測度が存在する
　以上より、裁定機会が存在しない　⇔　リスク中立確率測度が存在

戻る

おめでとうございます。これであなたは「１．３リスク中立確率測度」をマスターしました！