数理ファイナンス入門
第１章　１期間証券市場
１．２　裁定とその他の経済学的考察　　　　　　　　　　第1.1版 2001年12月27日

■まとめ
・取引戦略の線形性
　取引戦略ＨAによる利得過程ＧA、取引戦略ＨBによる利得過程ＧBとすると、以下が成立（線形性）
　1).新しい取引戦略Ｈ＝ＨA＋ＨBによる利得過程ＧはＧ＝ＧA＋ＧB
　2).αを実数の定数として、別の新しい取引戦略Ｈ'＝α・ＨAによる利得過程Ｇ'は、Ｇ'＝α・ＧA
　あまりはっきり本には書いていませんが、取引戦略Ｈの特徴として、このような線形性があります。
　これらは元の定義から自動的に導けるので本文では説明を省略しているようですが、私にはもっとも重要な気がします。
　かみ砕いて言うと、１００万円儲かる取引戦略があるとすると、
　その投資戦略を１０倍すると１０００万円、１００倍すると１億円儲かるぞ！ということですね。
　また、逆にα=-1とするとわかるように、その逆の投資戦略（つまり、借金する）をやれば、１００万円損するというものです。
　もちろん、現実の投資でこういう線形性が成り立つという訳ではないのですが、
　これから後の議論の展開を簡単にするための仮定と思ってください。
・定義：取引戦略ＨAが優越的であるとは、すべてのω∈Ωに対して、
　Ｖ0A＝Ｖ0BかつＶ1(ω)A＞Ｖ0(ω)Bとなるような他の取引戦略ＨBが存在することである。
　変な定義だと思いませんか？
　ある取引戦略が優越的つまり強いということは、別に必ず負ける取引戦略が存在することだというのです。
　ギャンブルでいうと、ある人がポーカーが強いということは、その人に必ず負ける別の人が（１人でも）いることだと
　定義しているのです。
　むしろ、どの人よりも強いとか必ず勝つことというように定義するのが普通だと思いませんか？
　しかし、上で述べた線形性から、必ず負けるということはその逆をやれば必ず勝てるということです。
　必ず負ける取引戦略をＨ＝(Ｈ0,Ｈ1,Ｈ2,...,ＨN）とすると、−Ｈ＝(-Ｈ0,-Ｈ1,-Ｈ2,...,-ＨN）をやれば必ず勝てる訳です。
　そこで、上の定義から新しい取引戦略Ｈを、ＨA−ＨBとしてやれば、必勝法ができるので、
　これが優越的な取引戦略という訳です。そこで次の定理になるのですね。
・取引戦略Ｈが優越的である　⇔　取引戦略Ｈでは、すべてのω∈Ωに対してＶ0＝0でＶ1(ω)＞0となる
　優越的な取引戦略Ｈでは、資産ゼロから資産を正に必ずできることを示しています。
　すべてのωという所がミソで、「すべてのω∈Ωで成立する＝どういう状態でも成立する＝必ず成り立つ」ということですので、。
　優越的な取引戦略は、必ず儲かる戦略であることを示しています。
　逆に、どれか１つのω（たとえば、ω2）でＶ1(ω)≦0となる取引戦略は優越的とはいえません。
　(*).⇔は同値、つまり⇔の左辺と右辺が同じこと（論理的に等しい）を示します。
・取引戦略Ｈが優越的である　⇔　取引戦略Ｈでは、すべてのω∈Ωに対してＶ0＜0でＶ1(ω)≧0となる
　優越的な取引戦略Ｈでは、資産マイナスから資産をゼロ以上に必ずできることを示しています。
　証明としては、
　1).すべてのω∈Ωに対してＧ*(ω)＝Ｖ1*−Ｖ0*＝Ｖ1*＞0
　　最後の等号では、Ｖ0*＝Ｖ0＝0を利用しています。
　2).δ≡minωＧ*(ω)として、新しいＨ0＝−Σn=1,N ＨnＳn*(0)-δとすると、
　　Ｖ0＝−δ＜0、Ｖ1(ω)＝−δ＋Ｇ*(ω)≧0という取引戦略になります。
　つまり、資産ゼロから資産プラスにできる取引戦略を変形して、資産マイナスから資産ゼロ以上にできる取引戦略を構成した訳です。
・定義：ベクトルπが線形価格測度であるとは、どの取引戦略に対しても、Ｖ0*＝Σω π(ω)Ｖ1*(ω)となる非負ベクトルであること。
　どの取引戦略に対してもというので、Ｈ＝(Ｈ0 ,0,0,..0）を採用してみると（すべて銀行預金にする）、
　すべてのωでＶ1*(ω)=Ｖ0*となりますので、Σω π(ω)=1であることが分かりますね。
　また、非負というのは、π＝(π1 , ... , πK）で、どのiについてもπi≧0ということです。
 ・ベクトルπが線形価格測度である　⇔　πがＳn*(0)＝Σω π(ω)Ｓn*(1,ω)を満たす確率測度である
　右辺は、各証券の初期価格(t=0でのＳn*)が最終割引価格(t=1のＳn*)の期待値と同じであることを示す。
・線形価格測度であるベクトルπが存在する　⇔　優越的取引戦略が存在しない
　本文では、線形計画法の双対理論を利用して証明していますが、かなり分かりにくいと思います。
　本文中の意味を補足します。
 　付録Ａの問Ａ．２に従い、主問題が(A.1式からＸ≧０の制約を取り除き）
　　minimize　cTＸ
　　Ａ・Ｘ≧ｂ
　の時、これの双対問題は
　　maximize　ＹTｂ
　　ＡT・Ｙ＝ｃ
　　Ｙ≧０
　となり、主問題に解がある時は、双対問題にも解があり、目的関数の最適値は一致します。
　　（これはこの節では証明済みの定理として使います。）
　次に、これのＡをＺ　Tに、cをＺに、ＸをｈTに、Ｙをπに、ｂ＝０とすると、 　主問題は
　　minimize　ＺTｈ
　　Ｚ　T・ｈT≧０
　となり、さらに転置して整理すると、
　　minimize　ｈ・Ｚ
　　ｈ・Ｚ≧０
　となって、これが(1.11)式となります。
　双対問題は
　　maximize　πT０
　　Ｚ・π＝Ｚ
　　π≧０
　となり、これを整理して、
　　maximize　０・π
　　Ｚ・π＝Ｚ
　　π≧０
　となり、これが(1.10)式となっています。

　本文中のπは線形価格測度の以下のようなベクトル表現です。
　　π≡ ┌
│
│
│
│
│
└ 		π(ω1)
π(ω2)
　　：
　　：
π(ωK)
 ┐
│
│
│
│
│
┘
　また、本文中の、Ｚ はt=1のＳ*を示す(N+1)×Kのマトリックスです。
　この(N+1)行目は、Σi=1,Kπ(ωi)=1の条件を示すためです。
　　Ｚ ≡ ┌
│
│
│
│
│
└ 		Ｓ1*(1,ω1)
Ｓ2*(1,ω1)
　　：
　　：
ＳN*(1,ω1)
　　１
 　Ｓ1*(1,ω2)　…
　Ｓ2*(1,ω2)　…
　　　：　　　　…
　　　：　　　　…
　ＳN*(1,ω2)　…
　　１　　　　　…
 　Ｓ1*(1,ωK)
　Ｓ2*(1,ωK)
　　　：
　　　：
　ＳN*(1,ωK)
　　１
 ┐
│
│
│
│
│
┘
　ところで、主問題と双対問題の解の存在という定理を使わなくても、Farkasの補題(１．３節の問１．１１)を利用すれば、
　もっと直接的に証明できます。以下に示します。
 　＜証明＞
　問１．１１で、ＡをＺ 、ｘをπ、ｂをＺ、ｙを−ｈとすると、Farkasの補題より
　　Ｚ ・π＝Ｚ、π≧０、π∈ＲK　　　　　(1)
　が解をもつか
　　ｈ・Ｚ ≧０，ｈ・Ｚ＜０，ｈ∈ＲN　　　　　(2)
　が解をもつかのいずれかで、両方が同時に解をもつことはない。
　(1)の解の存在は線形価格測度πの存在を示し、(2)の解の存在は優越的取引戦略の存在を示す。
　　（(2)は、Ｖ1≧０、Ｖ0＜０を示すから）
　従って、線形価格測度が存在することは、優越的取引戦略が存在しないことと同値である。
　双対定理自体、Farkasの補題から導けますので、この方がいいと思うんですが...
・一物一価の法則が成り立つとは、
　すべてのω∈Ωに対してＶ1A(ω)＝Ｖ1B(ω)で、 Ｖ0A＞Ｖ0Bとなる２つの取引戦略ＨA、ＨAは存在しない
・優越的取引戦略が存在しない　⇒　一物一価の法則が成り立つ
　本文中の証明では、一物一価の法則が成り立たないならば、優越的取引戦略が存在するという形で証明されています。
　その対偶をとってこれが証明されます。
・取引戦略Ｈが裁定機会とは以下２条件を満たすこと
　　a).Ｇ*≧０
　　b).Ｅ［Ｇ*］＞０
　Ｇ*≧０とは、どのω∈Ωについても、Ｇ*(ω)≧０ということです。
　つまり、どういう状態になっても損しないということですね。
　Ｅ［Ｇ*］はＧ*の期待値であり、これが正ということは平均的には得をするということですね。
・優越的取引戦略が存在すれば、裁定機会は存在する
　優越的取引戦略として、Ｖ0*＝０で、どのω∈ΩでもＶ1*(ω)＞０となるものを考えます。
　するとこの取引戦略は、上の２条件を自動的に満たすので、裁定機会となっています。
　優越的取引戦略とは必ず得をする戦略で、裁定機会とは必ず損しないで平均的に得をする戦略ですので、
　裁定機会が優越的取引戦略を含むのは当然ですね。
 ・裁定機会はない　⇒　優越的取引戦略が存在しない　⇒　一物一価の法則が成り立つ


■Ｑ＆Ａ
1).この節では結局、裁定機会が存在しない条件が一番大事だといっているですか？
　そうだと思います。そして、後節から無裁定価格理論を展開していくのです。

2).数式では分かるのですが、裁定機会と優越的取引戦略の違いが今一つ理解できません。
　裁定機会というのは、文字通り機会、可能性であり、
　損は絶対しないで得をする可能性がある（平均して得をする）戦略だということです。
　優越的取引戦略とは可能性でなく必ず得をする戦略です。従って、優越的取引戦略はより条件の厳しい定義となっています。
　つまり、「裁定機会⊃優越的取引戦略」　です。
　これの対偶をとると、「裁定機会はない⊂優越的取引戦略が存在しない」となります。
　次の例え話ではどうでしょう？ 　裁定機会というのは、宝くじをもらうようなものです。当たったら儲かるし、はずれても損をしません。平均的には儲かります。
　優越的取引戦略は、もう当たった宝くじをもらうようなものです。必ず儲かります。
3).非負のベクトルというのはどういう意味ですか？
　正、負などは１つの実数値についての属性であり、ベクトルは複数の実数の組ですから、厳密には正や負とはいえないものです。
　ただし、ここでは著者が次のような意味で定義しています。
　正のベクトル ... すべての要素が正のベクトル
　負のベクトル ... すべての要素が負のベクトル
　非負のベクトル ... すべての要素が非負、つまり０以上のベクトル
　このような定義は数学の世界ではあまり見かけないのですが、経済学、特に一般均衡理論の世界では一般的なようです。

■問題回答
問１．４
1).一物一価の法則が成り立つことを示す
まず、指定されたＶ1について
　Ｈ0＋8Ｈ1＋10Ｈ2＝Ｖ1(ω1)
　Ｈ0＋6Ｈ1＋ 8Ｈ2＝Ｖ1(ω2)
　Ｈ0＋3Ｈ1＋ 4Ｈ2＝Ｖ1(ω3)
を満たす解(Ｈ0, Ｈ1, Ｈ2)を求める。
マトリック形式で表現すれば以下となる。
　 ┌
│
│
│
└
1
1
1
　
　8
　6
　3
　
　10
　 8
　 4
　 		┐
│
│
│
┘ 		┌
│
│
│
└
Ｈ0
Ｈ1
Ｈ2
　 		┐
│
│
│
┘ 		＝ ┌
│
│
│
└
Ｖ1(ω1)
Ｖ1(ω2)
Ｖ1(ω3)
　 		┐
│
│
│
┘
これを変形していく。
　 ┌
│
│
│
└
1
0
0
　
　8
　-2
　-5
　
　10
　-2
　-6
　 		┐
│
│
│
┘ 		┌
│
│
│
└
Ｈ0
Ｈ1
Ｈ2
　 		┐
│
│
│
┘ 		＝ ┌
│
│
│
└
Ｖ1(ω1)
Ｖ1(ω2)−Ｖ1(ω1)
Ｖ1(ω3)−Ｖ1(ω1)
　 		┐
│
│
│
┘
　 ┌
│
│
│
└
1
0
0
　
　8
　-2
　0
　
　10
　-2
　-1
　 		┐
│
│
│
┘ 		┌
│
│
│
└
Ｈ0
Ｈ1
Ｈ2
　 		┐
│
│
│
┘ 		＝ ┌
│
│
│
└
Ｖ1(ω1)
Ｖ1(ω2)−Ｖ1(ω1)
Ｖ1(ω3)−Ｖ1(ω1)＋(-5/2)｛Ｖ1(ω2)−Ｖ1(ω1)｝
　 		┐
│
│
│
┘
となり、
　Ｈ2＝(-3/2)Ｖ1(ω1)＋(5/2)Ｖ1(ω2)＋(-1)Ｖ1(ω3)
　Ｈ1＝(-1)Ｈ2＋(-1/2)｛Ｖ1(ω2)−Ｖ1(ω1)｝ ＝2Ｖ1(ω1)＋(-3)Ｖ1(ω2)＋Ｖ1(ω3)
　Ｈ0＝(-8)Ｈ1＋(-10)Ｈ2＋Ｖ1(ω1) ＝(-1)Ｖ1(ω2)＋2Ｖ1(ω3)
と一意に求められる。
従って、Ｖ0＝Ｈ0＋4Ｈ1＋7Ｈ2 ＝(-5/2)Ｖ1(ω1)＋(9/2)Ｖ1(ω2)＋(-1)Ｖ1(ω3)となり、
Ｖ0も一意に求められる。 以上から、Ｖ1からＶ0が一意に決定するので、一物一価の法則が成立している。

2).優越的取引戦略が存在することを示す
Ｖ0＝Ｈ0＋4Ｈ1＋7Ｈ2＝0とすると、Ｈ0＝(-4)Ｈ1＋(-7)Ｈ2となる
　Ｖ1(ω1)＝Ｈ0＋8Ｈ1＋10Ｈ2＝4Ｈ1＋3Ｈ2
　Ｖ1(ω2)＝Ｈ0＋6Ｈ1＋8Ｈ2＝2Ｈ1＋Ｈ2
　Ｖ1(ω3)＝Ｈ0＋3Ｈ1＋4Ｈ2＝(-1)Ｈ1＋(-3)Ｈ2
であり、Ｖ1＞0、つまり、Ｖ1(ω1)＞0、Ｖ1(ω2)＞0、Ｖ1(ω3)＞0となるには 以下３条件が成り立つ必要がある。
　Ｈ2＞(-4/3)Ｈ1
　Ｈ2＞(-2)Ｈ1
　Ｈ2＜(-1/3)Ｈ1
第２式は第１式が成り立てば自動的に成り立つので、
(-1/3)Ｈ1＞Ｈ2＞(-4/3)Ｈ1を示す。
これを満たす取引戦略として、例えばＨ＝(Ｈ0, Ｈ1, Ｈ2)＝(-1, 2, -1)を採用すると、
Ｖ0＝0で、Ｖ1＝(Ｖ1(ω1), Ｖ1(ω2), Ｖ1(ω3))＝(5, 3, 1)＞0となることから
Ｈは優越的取引戦略である。

2').優越的取引戦略が存在することを示す(別証明)
　線形価格測度π＝(π(ω1), π(ω2), π(ω3))は以下を満たす。
　 ┌
│
│
└ 		8
10
 　6
　8
 　3
　4
 ┐
│
│
┘ 		┌
│
│
└ 		π(ω1)
π(ω2)
π(ω3)
 ┐
│
│
┘
＝

　 		┌
│
│
└ 		4
7
 ┐
│
│
┘
　この解はパラメータλとして、
　π(ω1)＝-5/2
　π(ω2)＝λ
　π(ω3)＝8-2λ
π(ω1)＞0にはできないので、πは線形価格測度ではなく、つまり線形価格測度は存在しない。
従って、優越的取引戦略は存在する。

問１．５
1).優越的取引戦略が存在しないことを示す
　線形価格測度π＝(π(ω1), π(ω2), π(ω3))は以下を満たす。
　 ┌
│
│
└ 		60/9
40/3
 　60/9
　80/9
 　40/9
　80/9
 ┐
│
│
┘ 		┌
│
│
└ 		π(ω1)
π(ω2)
π(ω3)
 ┐
│
│
┘
＝

　 		┌
│
│
└ 		5
10
 ┐
│
│
┘
解はパラメータλとして以下となる。
　 ┌
│
│
└ 		π(ω1)
π(ω2)
π(ω3)
 ┐
│
│
┘
＝

　 		┌
│
│
└ 		λ
0
(-3/2)λ＋(9/8)		 ┐
│
│
┘
π(ω1)＋π(ω2)＋π(ω3)＝1より、
λ+(-3/2)λ＋(9/8)＝1より、λ＝1/4となり、
　 ┌
│
│
└ 		π(ω1)
π(ω2)
π(ω3)
 ┐
│
│
┘
＝

　 		┌
│
│
└ 		1/4
0
3/4		 ┐
│
│
┘
が線形価格測度となる。従って、優越的取引戦略は存在しない。

2).裁定機会が存在することを示す
Ｖ0＝Ｈ0＋5Ｈ1＋10Ｈ2＝0とすると、Ｈ0＝(-5)Ｈ1＋(-10)Ｈ2となる
　Ｖ1(ω1)＝Ｈ0＋(60/9)Ｈ1＋(40/3)Ｈ2＝(15/9)Ｈ1＋(10/3)Ｈ2
　Ｖ1(ω2)＝Ｈ0＋(60/9)Ｈ1＋(80/9)Ｈ2＝(15/9)Ｈ1＋(-10/9)Ｈ2
　Ｖ1(ω3)＝Ｈ0＋(40/9)Ｈ1＋(80/9)Ｈ2＝(-5/9)Ｈ1＋(-10/9)Ｈ2
であり、Ｖ1≧0、つまり、Ｖ1(ω1)≧0、Ｖ1(ω2)≧0、Ｖ1(ω3)≧0となるには 以下３条件が成り立つ必要がある。
　(15/9)Ｈ1＋(10/3)Ｈ2≧0
　(15/9)Ｈ1＋(-10/9)Ｈ2≧0
　(-5/9)Ｈ1＋(-10/9)Ｈ2≧0
変形して、
　Ｈ1＋2Ｈ2≧0
　3Ｈ1＋(-2)Ｈ2≧0
　Ｈ1＋2Ｈ2≦0
となり、第１式と第３式を同時に満たすには等号が成立するしかない。従って
　Ｈ1＋2Ｈ2＝0
　3Ｈ1＋(-2)Ｈ2≧0
となる。整理して
　Ｈ1＝(-2)Ｈ2
　Ｈ2≦0
となる。
従って、例えば、Ｈ＝(0, 2, -1)とすると、Ｖ0＝0で、Ｖ1＝(0, 40/9, 0)≧0となり、裁定機会となっている。


おめでとうございます。これであなたは「１．２裁定とその他の経済学的考察」をマスターしました！

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